Задача 15
На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М.
По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж?
1. Рассмотрим внимательно предложенную схему дорог.
2. Будем обозначать через NX количество различных путей из города А в город X.
3. Для города А есть только один маршрут – никуда не двигаться, поэтому NA = 1.
4. Для любого города X количество маршрутов NX можно вычислить как:
где сумма взята по всем вершинам, из которых есть прямой путь в вершину X; например:
NМ = NЛ + NК
3. В свою очередь
NЛ = NК = NИ, а NИ = NЕ + NЖ + NЗ.
4. Согласно условию нам необходимо подсчитать сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж. В связи с эим в формуле NИ = NЕ + NЖ + NЗ значения NЕ и NЗ равны 0, т.е. пункты Е и З не учитываем.
5. В то же время в для пункта Ж количество путей мы посчитаем по формуле:
NЖ = NЕ + NБ + NВ + NГ + NД + NЗ
где значения пунктов Е и З будем учитывать:
NЕ = NБ; NЗ = NД
NБ = NА = 1
NВ = NБ + NА + NГ
NГ = NД + NА
NД = NА = 1
6. Собираем теперь пути в обратном направлении:
NГ = NД + NА = 1 + 1 = 2
NВ = NБ + NА + NГ = 1 + 1 + 2 = 4
NЕ = NБ = 1
NЗ = NД = 1
NЖ = NЕ + NБ + NВ + NГ + NД + NЗ = 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 10
NИ = NЕ + NЖ + NЗ = 0 + 10 + 0 = 10
NЛ = NК = NИ = 10
NМ = NЛ + NК = 10 + 10 = 20
Ответ: 20